Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay

Xét thấy, một vectơ quay quanh gốc O, ngược chiều kim đồng hồ có đặc điểm:

Độ dài của vectơ bằng A
Tốc độ quay bằng $\omega$
Ban đầu hợp với Ox một góc $\varphi$

Khi đó, hình chiếu P của ngọn vectơ chiếu xuống trục Ox biểu diễn một dao động điều hoà có phương trình là: x=Acos(t$\omega+\varphi$)

Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

2. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

Khi một vật bị ảnh hưởng bởi nhiều dao động cùng tần số, dao động của vật khi ấy gọi là dao động tổng hợp. Ta có 1 vật tham gia đồng thời 2 dao động sau đây:

$x_{1} = A_{1}cos(t\omega+\varphi_{1})$

$x_{2} = A_{2}cos(t\omega+\varphi_{2})$

Ta có hình vẽ minh hoạ 2 vectơ quay đặc trưng của 2 dao động như sau:

Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

Khi đó, dạng của dao động tổng hợp có dạng: $x=Acos( \omega t + \varphi )$

Nếu cùng biên độ, ta cộng lượng giác: x = x1 + x2

Nếu khác biên độ, ta nên sử dụng biểu diễn vectơ quay để tổng hợp dao động cùng tần số, cùng phương.

Ta cùng xét các ví dụ minh hoạ về tổng hợp kiến thức dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số sau đây!

Ví dụ 1: Cho 1 vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà có phương trình như sau:

$x_{1} = 4cos(3\pi t)$ (cm)

$x_{2} = 4cos(3\pi t + \frac{\pi}{3})$ (cm)

Xác định dao động tổng hợp của 2 dao động đã cho.

Giải:

Ta có: A1 = 4(cm); $\omega_{1} = 3\pi ; \omega_{1} = 0; A_{2} = 4(cm); \omega_{2} = 3\pi ; \omega_{2} = \frac{\pi}{3}$

Do 2 dao động có cùng tần số, vậy dao động tổng hợp lúc này có dạng: $x = Acos(\omega t + \varphi)$

Biên độ A của dao động tổng hợp có giá trị là:

$A = \sqrt{A_{1}^{2} + 2A_{1}A_{2}cos(\varphi _{1} - \varphi _{2})} = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 2.4.4.cos(\frac{\pi }{3}) - 0} = 4\sqrt{3}$

Pha ban đầu :

Do đó, dao động tổng hợp của 2 dao động trên có giá trị là:

$x=4\sqrt{3}cos(3\pi +\frac{\pi}{6})(cm)$

Ví dụ 2: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω = 5π rad/s, với các biên độ: A1 = √3/2 cm, A2 = √3 cm và các pha ban đầu tương ứng φ1 = π/2 và π2 = 5π/6. Viết phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động trên.

Giải:

Ta có:

$A_{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+2.\frac{3}{2}.\sqrt{3}cos(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{2})$

⇒ A = 2,3( cm)

Pha ban đầu $\varphi$ :

$tan\varphi=\frac{A_{1}sin\varphi_{1}+A_{2}\varphi sin_{2}}{A_{1}cos\varphi_{1}+A_{2}\varphi cos_{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sin(\frac{\pi}{2})+\sqrt{3}sin(\frac{5\pi}{6})}{\frac{\sqrt{3}}{2}cos(\frac{\pi}{2})+\sqrt{3}cos(\frac{5\pi}{6})}\Rightarrow \varphi=0,73\pi$

Do đó, phương trình dao động tổng hợp có dạng: $x=2,3cos(5\pi t+0,73\pi )$

Ví dụ 3: Chuyển động của một vật chính là tổng hợp của 2 dao động điều hòa cùng tần số cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x1 = 8cos(10πt + π/4) (cm) và x2 = 5cos(10πt - 3π/4) (cm). Khi ở vị trí cân bằng, độ lớn vận tốc của vật là bao nhiêu?

Giải:

Ta có: Δφ = φ2 - φ1 = (-3π/4) - π/4 = -π

⇒ hai dao động đã cho của đề bài có đặc điểm là ngược pha

- Biên độ dao động tổng hợp: A = |A1 - A2| = |8 - 5| = 3(cm).

⇒ Vận tốc của ở VTCB là: VVTCB = Vmax = $\omega A$ = 10.3 = 30 (cm/s)

Ví dụ 4: Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương có biểu thức x = 5√3cos(10πt + π/2) (cm). Dao động thứ nhất có biểu thức là x1 = 5cos(10πt + π/3) (cm). Biểu thức của dao động thứ hai có dang như thế nào?

Giải:

Áp dụng công thức 2 dao động điều hoà, ta có:

$\vec{A}=\vec{A_{1}}+\vec{A_{2}}\Rightarrow \vec{A_{2}}=\vec{A}-\vec{A_{1}}$

⇒ $A_{2}^{2}=A^{2}+A_{1}^{2}-2AA_{1}cos(\varphi-\varphi_{1})$

= $(5\sqrt{3})^{2}+5^{2}-2.5\sqrt{3}.5.cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})$

= 75 + 25 - 75 = 25 ⇒ A = 5 (cm)

Lại có:

$tan\varphi=\frac{A_{1}sin\varphi_{1}+A_{2}sin\varphi_{2}}{A_{1}cos\varphi_{1}+A_{2}sin\varphi_{2}}=tan\frac{2\pi}{3}\Rightarrow \varphi_{2}=\frac{2\pi}{3}(cm)$

Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hoà cùng phương: x1 = 2cos(4t + φ1) cm và x2 = 2cos(4t + φ2)cm. Với 0 ≤ φ2 - φ1 ≤ π. Phương trình dao động tổng hợp có dạng là x = 2cos(4t + π/6) cm. Pha ban đầu φ1 có giá trị bao nhiêu?

Giải:

Theo dữ kiện mà đề bài đã ra ta có:

$0 \leq \varphi _{2} - \varphi _{1} \leq \pi \Rightarrow \varphi _{2} \geq \varphi _{1} \Rightarrow \varphi _{2} \geq \varphi (\varphi _{1} \leq \varphi \leq \varphi _{2})$

Ta có:

$A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2}cos(\varphi _{2} - \varphi _{1}) \Leftrightarrow 4 = 4 + 4 + 8cos(\varphi _{2} - \varphi _{1})$

$\Rightarrow cos(\varphi _{2} - \varphi _{1}) = -\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi _{2} - \varphi _{1} = \frac{2\pi }{3}$

(vì $\varphi _{2} - \varphi _{1} \geq 0$ loại nghiệm âm $\varphi _{2} - \varphi _{1} = -\frac{2\pi }{3}$ )

Ta lại có: $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{A_{1}} + \overrightarrow{A_{2}} \Rightarrow \overrightarrow{A_{1}} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{A_{2}}$

$\Rightarrow A_{1}^{2} = A^{2} + A_{2}^{2} - 2AA_{2}cos(\varphi - \varphi _{2})$

$\Rightarrow cos(\varphi - \varphi _{2}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi - \varphi _{2} = -\frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow \frac{\pi }{6} - (\varphi _{1} + \frac{2\pi }{3}) = -\frac{\pi }{3} \Rightarrow \varphi _{1} = -\frac{\pi }{6} rad$

(vì $\varphi - \varphi _{2} \leq 0$ loại nghiệm dương $\varphi - \varphi _{2} = \frac{\pi }{3}$ )

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi Lý tốt nghiệp THPT đạt hiệu quả cao

3. Tổng hợp nhiều dao động

Đây là dạng bài tập dao động tổng hợp nhưng có sự xuất hiện của nhiều hơn 2 dao động. Xét bài toán dạng khái quát chung sau đây:

Cho 1 vật thực hiện cùng lúc n dao động thành phần với phương trình lần lượt có dạng:

x1 = A1cos(ωt + φ1)

x2 = A2cos(ωt + φ2)

…

xn = Ancos(ωt + φn)

Tìm dao động tổng hợp?

Phương trình dao động tổng hợp lúc này là: x = Acos(ωt + φ)

Phương pháp giải chung của dạng bài tập này theo 3 bước như sau:

Bước 1: $\left\{\begin{matrix} A_{X} = A_{1}cos\varphi _{1} + A_{2}cos\varphi _{2}+...+A_{n}cos\varphi _{n}\\ A_{Y} = A_{1}cos\varphi _{1} + A_{2}cos\varphi _{2}+...+A_{n}cos\varphi _{n} \end{matrix}\right.$

Bước 2: $A = \sqrt{A_{X}^{2} + A_{Y}^{2}}; tan\varphi = \frac{A_{Y}}{A_{X}}$

Bước 3: Hoàn chỉnh phương trình $x = Acos(\omega t + \varphi )$

4. Cách viết phương trình dao động tổng hợp bằng công thức

4.1. Công thức tính biên độ của của dao động tổng hợp

Công thức tính biên độ: $A^{2} = A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(\varphi_{2}-\varphi_{1})$

4.2. Công thức tính pha ban đầu của dao động tổng hợp

Công thức tính pha ban đầu: $tan\varrho=\frac{A_{1}sin\varphi_{1}+A_{2}sin\varphi_{2}}{A_{1}cos\varphi_{1}+A_{2}cos\varphi_{2}}$

Lưu ý:

Khi 2 vectơ cùng pha:
Amax = A1 + A2; φ = φ1 = φ2

(Biên độ dao động tổng hợp đạt max khi 2 vectơ cùng pha)

Khi 2 vectơ ngược pha: Amin = |A1 - A2|. Nếu A1 > A2 ⇒ φ = φ1; Amin = |A1 - A2|. Nếu A1 > A2 ⇒ φ = φ1.
Khi 2 vectơ vuông pha: $A^{2}= A_{1}^{2}+A_{2}^{2}$
Khi A1 và A2 xác định nhưng φ1 và φ2 chưa biết, ta có: |A1 - A2| ≤ A ≤ |A1 + A2|

5. Giải bài toán phương trình dao động tổng hợp với máy tính casio

Để tính nhanh các bài toán phương trình dao động tổng hợp, chúng ta áp dụng máy tính CASIO tính biên độ và pha ban đầu như sau:

Xét bài toán: Cho 1 vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng tần số và cùng phương, ta được phương trình: $x=3cos(2\pi t+\frac{\pi}{3}), x_{2}=4cos(2\pi t+\frac{\pi}{6}) (cm)$ . Phương trình dao động điều hoà tổng hợp lúc này có dạng như thế nào?

Phương pháp giải:

Bước 1:
- Ấn MODE -> 2 để chuyển máy sang chế độ CMPLX.
- Chuyển sang chế độ tính góc bằng đơn vị RAD.

Sau khi thực hiện thao tác, màn hình sẽ hiển thị như sau:

Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

Bước 2: Nhập vào máy tính: A1 → Shift → (-) → φ1 + A2 → Shift → (-) → φ2 → =

Màn hình hiển thị:

Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

Bước 3: Ấn các phím: SHIFT -> 2 -> 3 -> = để hiển thị:

Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

Ta có thể thấy, trước dấu ∠ là biên độ của phương trình dao động, sau dấu ∠ là giá trị pha ban đầu của phương trình dao động điều hoà tổng hợp cần tìm.

Như vậy, phương trình dao động điều hoà tổng hợp lúc này có dạng:

x = 5cos(2πt + 0,12)(cm)

6. Bài tập tổng hợp dao động điều hòa và đáp án

Để luyện tập giải thành thạo các bài toán tổng hợp kiến thức dao động như thành lập công thức, tính các thành phần trong công thức, tính vận tốc gia tốc của dao động tổng hợp, các em học sinh cùng VUIHOC luyện giải các bài tập trắc nghiệm luyện tập sau đây. Nhớ đừng quên so đáp án bên dưới để tự chấm điểm cho mình nhé!

Câu 1: Có 2 dao động điều hoà cùng phương với phương trình như sau: x1 = 2cos(4t + φ1) cm; x2 = 2cos(4t + φ2) cm. Với 0 ≤ φ2 - φ1 ≤ π. Cho biết phương trình dao động tổng hợp có dạng x = 2cos(4.t + π/6) cm. Pha ban đầu φ1 là :

A. π/2 B. -π/3 C. π/6 D. -π/6

Câu 2: Có thể tổng hợp được 2 dao động thành phần trong trường hợp hai dao động đó:

A. Cùng phương, cùng tần số

B. Cùng tần số đồng thời cùng biên độ

C. Cùng tần số và có độ lệch pha không đổi

D. Cùng tần số, cùng phương đồng thời có độ lệch pha cố định theo thời gian

Câu 3: Chọn phát biểu sai trong những phát biểu sau: Trong tổng hợp dao động, biên độ của dao động tổng hợp,…

A. Đạt giá trị max khi độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần bằng 2π

B. Đạt giá trị min khi độ lệch pha giữa 2 dao động thành phần bằng π

C. Phụ thuộc tần số của 2 dao động thành phần

D. Phụ thuộc độ lệch pha của 2 dao động thành phần

Câu 4: Biểu thức xác định pha ban đầu của dao động tổng hợp từ hai dao động thành phần:

$A. tan\varphi = \frac{A_{1}cos\varphi _{1} + A_{2}cos\varphi _{2}}{A_{1}sin\varphi _{1} + A_{2}sin\varphi _{2}}$

$B. tan\varphi = \frac{A_{1}sin\varphi _{1} + A_{2}sin\varphi _{2}}{A_{1}cos\varphi _{1} + A_{2}sin\varphi _{2}}$

$C. tan\varphi = \frac{A_{1}sin\varphi _{1} + A_{2}sin\varphi _{2}}{A_{1}cos\varphi _{1} + A_{2}cos\varphi _{2}}$

$D. tan\varphi = \frac{A_{1}sin\varphi _{1} + A_{2}cos\varphi _{2}}{A_{1}cos\varphi _{1} + A_{2}cos\varphi _{2}}$

Câu 5: A1, A2 lần lượt là biên độ của các dao động thành phần. Gọi biên độ dao động tổng hợp là A. Điều kiện của độ lệch pha Δφ thoả mãn A = |A1 - A2| là:

A. Δφ = 2kπ B. Δφ = (2k + 1)π C. Δφ = kπ D. Δφ = (k+1)π

Câu 6: Cho 2 dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là x1 = A1cos(ωt+0,35) cm; x2 = A2cos(ωt-1,57) cm. Dao động tổng hợp phương trình x = 20cos(ωt + φ) cm. Giá trị max của (A1 + A2) gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 20 cm B. 25 cm C. 35 cm D. 40 cm

Câu 7: Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình x1 = A1cos(πt + π/6) cm và x2 = 6cos(πt - π/2) cm. Dao động tổng hợp của 2 dao động trên là x = 10cos(ωt + φ). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A chạm giá trị min Khi đó giá trị của φ là:

A. -π/6 B. -π/3 C. π D. 0

Câu 8: Cho 1 vật tham gia đồng thời 2 dao động điều hòa cùng tần số cùng phương có dạng phương trình: x1 = cos(4t + φ1) cm, x2 = 2cos(4t + φ2) cm (t tính bằng s), với 0 ≤ φ1 - φ2 ≤ π. Biết phương trình dao động tổng hợp là x = cos(4t + π/6) cm. Giá trị φ1 bằng:

A. -π/6 B. 2π/3 C. -5π/6 D. π/2

Câu 9: Hai vật dao động trên trục Ox có phương trình x1 = 3cos(5πt - π/3) cm và x2 = √3cos(5πt - π/6) cm thì sau 1 s kể từ thời điểm t = 0 thì số lần hai vật đi qua nhau là bao nhiêu?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

Câu 10: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x1 = A1cos(10t) cm và x2 = A2cos(10t + φ2) cm. Phương trình dao động tổng hợp x = A1√3cos(10t + φ) cm trong đó φ2 - φ = π/6. Tỉ số φ/φ2 bằng:

A. 2/3 hoặc 4/3 B. 1/3 hoặc 2/3 C. 1/2 hoặc 3/4 D. 3/4 hoặc 2/5

Câu 11: Cho một vật có dao động là tổng hợp của 2 dao động thành phần cùng tần số và cùng phương có phương trình x1 = 4,8cos((10√2)t + π/2)cm, x2 = A2cos((10√2)t - π) cm. Biết rằng tại thời điểm động năng bằng 3 lần thế năng, tốc độ của vật bằng 0,3√6 m/s. Biên độ A2 bằng:

A. 7,2 cm B. 6,4 cm C. 3,2 cm D. 3,6 cm

Bài 12: Cho một vật khối lượng bằng 0,5 kg đồng thời thực hiện 2 dao động điều hoà cùng tần số góc 4π rad/s cùng phương, phương trình x1 = A1cos(ωt + π/6) cm và x2 = 4sin(ωt - π/3) cm. Biết rằng hợp lực tác dụng lên vật có độ lớn max là 2,4N. Tính biên độ A1:

A. 5 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 3 cm

Bài 13: Cho 2 con lắc lò xo giống nhau là lò xo nhẹ và 1 vật nặng 500g, dao động điều hoà có phương trình x1 = Acos(ωt - π/3) cm và x2 = (3A/4)cos(ωt + π/6) cm. Hai con lắc trên 2 trục toạ độ song song cùng chiều, cùng gốc tọa độ và ở gần nhau. Biết rằng khoảng cách giữa 2 bật lớn nhất bằng 10cm và vận tốc tương đối giữa 2 vật có độ lớn max bằng 1m/s (xét trong quá trình dao động). Để 2 con lắc dừng lại, ta cần thực hiện lên hệ 2 con lắc 1 công cơ học có độ lớn bằng bao nhiêu?

A. 0,25 J B. 0,1 J C. 0,5 J D. 0,15 J

Bài 14: Xét 1 vật thực hiện đồng thời 3 dao động cùng phương có phương trình x1 = A1cos(ωt + 2π/3); x2 = A2cos(ωt) , x3 = A3cos(ωt - 2π/3). Tại thời điểm t1, các li độ có giá trị lần lượt là x1 = -10 cm, x2 = 40 cm, x3 = -20 cm. Tại thời điểm t2 = t1 + T/4, các li độ có giá trị lần lượt là x1 = -10√3 cm, x2 = 0 cm, x3 = 20√3 cm. Tính biên độ dao động tổng hợp của vật đã cho.

A. 50 cm B. 20 cm C. 30 cm D. 40√3 cm

Bài 15: Cho 2 con lắc lò xo giống nhau cùng dao động điều hoà trên 1 mặt phẳng ngang, dọc theo 2 đường thẳng song song với Ox và song song cạnh nhau. Biên độ dao động của con lắc thứ nhất là A1 = 4 cm, thứ 2 là A2 = 4√3 cm. Con lắc thứ 2 dao động sớm pha hơn con lắc thứ nhất. Khoảng cách max giữa 2 vật dọc theo Ox là a = 4cm xét trong quá trình dao động. Động năng của con lắc thứ 2 bằng bao nhiêu khi động năng của con lắc thứ nhất đạt cực đại?

A. W B. (3/4)W C. (9/4)W D. (2/3)W

Bài 16: Cho 2 dao động điều hoà có phương trình lần lượt là x1 = 2sin(4t + φ1 + π/2) cm và x2 = 2sin(4t + φ2 + π/2) cm. Biết rằng 0 ≤ φ2 - φ1 ≤ π và dao động tổng hợp có phương trình x = 2cos(4t + π/10) cm. Giá trị của φ1 là:

A. -π/18 B. -7π/30 C. -π/3 D. -42π/90

Bài 17: Xét 1 vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng tần số cùng phương, biên độ dao động lần lượt là 8cm và 12cm. Tính biên độ dao động tổng hợp:

A. 2 cm B. 3 cm C. 5 cm D. 21 cm

Bài 18: Cho 2 vật thực hiện dao động điều hoà trên 2 đường thẳng nằm ngang, song song, gốc toạ độ nằm trên cùng 1 đường thẳng trục Ox. Phương trình dao động của 2 vật lần lượt là x1 = A1cos(πt + π/6) cm và x2 = 6cos(πt + π/2) cm. Khoảng cách theo phương ngang giữa 2 chất điểm được biểu diễn với phương trình d = Acos(ωt + φ) cm (xét trong quá trình dao động). Thay đổi A1 đến khi biên độ A đạt min thì:

A. φ = -π/6 B. φ = -π/3 C. φ = 0 D. φ = π

Bài 19: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hòa kết hợp ngược pha nhau. Tại một thời điểm ly độ của dao động thành phần thứ nhất và dao động tổng hợp lần lượt là 2 cm và -3 cm. Ở thời điểm ly độ dao động tổng hợp là 4,5 cm thì ly độ của dao động thành phần thứ hai là:

A. -3 cm B. -7,5 cm C. 7,5 cm D. 3 cm

Bài 20: Cho 2 chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên 2 đường thẳng nằm ngang, song song, gốc tọa độ nằm cùng trên đường thẳng phương thẳng đứng. Phương trình dao động lần lượt có dạng x1 = A1cos(πt + π/6) cm và x2 = 6cos(πt + π/2) cm (gốc thời gian lấy tại thời điểm lúc hai vật bắt đầu chuyển động). Khi dao động, khoảng cách theo phương nằm ngang giữa 2 chất điểm này được biểu diễn bằng d = Acos(ωt + φ) cm. Thay đổi A1 đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì:

A. φ = -π/6 B. φ = -π/3 C. φ = 0 D. φ = π

Đáp án:

Nắm chắc 9+ với bộ bí kíp kiến thức Lý độc quyền của VUIHOC ngay

Dao Động Tổng Hợp: Công Thức Và Cách Giải Bài Tập

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ kiến thức cơ bản nhất về dao động tổng hợp, hướng dẫn cách viết phương trình và tính toán nhanh bằng CASIO. Hy vọng rằng sau bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập Vật lý 12 có liên quan đến kiến thức dao động tổng hợp. Truy cập trang web Vuihoc.vn để tham khảo và học hỏi nhiều hơn về những kiến thức bổ ích phục vụ cho ôn thi tốt nghiệp THPT môn Lý nhé!

>>> Bài viết tham khảo thêm:

Phương trình dao đông điều hòa