Cấp Số Cộng Là Gì? 5 Công Thức Cấp Số Cộng Và Bài Tập

Lý Tam Thi

03:30 27/11/2024

1. Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là khái niệm để chỉ một dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng đằng trước và một số d (công sai) cố định.

$\Leftrightarrow \forall n \geqslant 2, U_{n-1} + d; n \in N^{*}$

2. Tính chất của cấp số cộng

Nếu $(U_{n})$ là cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, nghĩa là $U_{k} = \frac{U_{k-1}+U_{k+1}}{2}$

3. Tổng hợp tất cả công thức cấp số cộng lớp 11

Trong chương trình đại số THPT, các em học sinh đã được học về cấp số cộng và ứng dụng của các công thức cấp số cộng. Dưới đây, VUIHOC tổng hợp cho các em 5 công thức cấp số cộng cơ bản và thường sử dụng nhất.

3.1. Công thức cấp số cộng theo định nghĩa chung

Theo định nghĩa, xét $U_{n}$ là cấp số cộng với công sai d thì khi đó ta có công thức:

$U_{n} = U_{n-1} + d (n\geqslant 2)$

3.2. Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức tính số hạng tổng quát bằng cách sử dụng số hạng đầu kèm công sai:

$U_{n} = U_{1} + (n-1)d$

3.3. Công thức cấp số cộng thông qua hai số liền kề

Công thức cấp số cộng có 2 số liền kề hay còn gọi là tính chất của cấp số cộng. Ta cùng xét CSC $U_{n}$ với số hạng đằng trước là $U_{n-1}$ và số hạng liền kề đằng sau là $U_{n-1}$ :

$U_{n} = \frac{U_{n-1}+U_{n-1}}{2}$ hay $U_{n+1} + U_{n-1} = 2U_{n}$

3.4. Công thức cấp số liên hệ giữa hai số bất kì

$U_{n} = U_{m} + (n-m)d$

3.5. Công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

3.5.1. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và số hạng thứ n

$S_{n} = U_{1} + U_{2} + ... + U_{n}$ = $\frac{n(U_{1}+U_{n})}{2} (n\geqslant 1)$

3.5.2. Công thức tính tổng n số hạng đầu (tổng riêng thứ n) thông qua số hạng đầu và công sai

$S_{n} = n.U_{1} + \frac{n.(n-1)}{2}d (n\geqslant 2)$

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc gia ngay!

Cấp Số Cộng Là Gì? 5 Công Thức Cấp Số Cộng Và Bài Tập

4. Vận dụng công thức cấp số cộng để giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao

Bài tập 1: Áp dụng công thức định nghĩa để giải CSC sau:

Dãy số 3;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:

6 = 3 + 3

9 = 6 + 3

12 = 9 + 3

15 = 12 + 3

Đây là cấp số cộng có công sai d = 3 và số hạng đầu $U_{1} = 3$

Bài tập 2: Công thức tìm số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng $(U_{n})$ có $U_{1} = -2$ và công sai d = 7. Tính số hạng tổng quát?

Lời giải:

Theo công thức thứ 2 phần I, ta có:

$U_{n} = U_{1} + (n-1)d = -2 + (n-1).7 = 7n - 9$

Bài tập 3: Tìm số hạng bất kì

Cho CSC $(U_{n})$ với điều kiện d=3, $U_{1}$ = -1. Tính $S_{20}$ .

Lời giải:

Ta có $S_{20} = 20U_{1} + \frac{20.(20-1)}{2}.d$

= $20. (-1) + \frac{20.19}{2}. 3$

= 550

Bài tập 4: Tìm công sai

Cho CSC $(U_{n})$ có tổng 100 số hạng đầu bằng 24850, $U_{1} = 1$ . Công sai d của cấp số cộng bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có $S_{100} = 24850 \Leftrightarrow \frac{n}{2}(U_{1} + U_{n}) =24850 \Leftrightarrow U_{100} = 496$ .

Vậy $U_{100} = U_{1} + 99d \Leftrightarrow d = \frac{U_{100}-U_{1}}{99} \Leftrightarrow d = 5$

Bài tập 5: Tính số hạng đầu của cấp số cộng

Cho một cấp số cộng (un) biết rằng

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{5} = 6\\ u_{10} - u_{2} = 8 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng đầu của cấp số cộng trên.

Hướng dẫn giải:

Ta có

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{5} = 6\\ u_{10} - u_{2} = 8 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{1} +4d = 6\\ 8d = 8 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 1 \end{matrix}\right.$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là u1 = 1

Hãy cùng các các thầy cô của VUIHOC tham khảo một số dạng bài tập thường gặp về cấp số cộng

Thông qua những thông tin trong bài viết, hi vọng các bạn đã có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến công thức cấp số cộng trong chương trình Toán 11 để vận dụng giải bài tập cấp số cộng thật chính xác. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!

Tham khảo thêm:

Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

>> Xem thêm:

Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp sô nhân
Xác suất của biến cố
Phép thử và biến cố
Cấp số nhân là gì? Tổng hợp các công thức cấp số nhân và bài tập
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập vận dụng