Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số hằng số không đổi. Hằng số này còn được gọi là công bội q của cấp số nhân.

Công thức cấp số nhân

Un+1= Un x qTrong đó: Un là cấp số nhân với ∀n ≥2, Un-1 với n ∈ N*Ví dụ: Dãy số (Un) với Un= 5^n là một cấp số nhân với số hạng đầu U1= 5 với công bội q = 5Lưu ý:q> 1 => Cấp số nhân là dãy số tăngq= 1 => Cấp số nhân là dãy số không đổi0 Cấp số nhân là dãy số giảmq= 0=> Cấp số nhân có dạng U1,0,0..q <0 > Cấp số nhân là dãy không tăng, không giảm.

Công bội q

q là công bội của cấp số nhân Un có:Công bội q= (Un+1)/UnVí dụ: Cho cấp số nhân U1= 3, U2= 12. Tính công bội qTa có:q= U2/U1= 12/3= 4Ví dụ: Cho cấp số nhân U3= 12, U4= 24. Tính công bội qTa có :q= U4/U3= 24/12= 2>> Tham khảo: Chu vi hình tam giác

Tính chất của cấp số nhân

Un là một số nhân thì số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng trước sau nó.(Uk)2= Uk-1 x Uk+1Nếu một cấp số nhân Un có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quats Un sẽ được tính theo công thức:Un= U1 x q^n-1Ví dụ: Cho cấp số nhân Un với công bội q> 0Biế U1=1, U3= 9. Tìm U4Giải:Ta có : U2^2= U1 x U3= 9=> U2= 3 (Do U1>0 và q>0)U3^2= U2 x U4=> U4= U3^2/ U2= 81/3= 27Khi q= 0 thì dãy có dạng U1, 0, 0,..0 và Sn= U1Khi q= 1 thì dãy số có dạng: U1, U1, U1 và Sn= nUnKhi U1= 0 thì mọi q, cấp số nhân có dạng 0,0,0,0… và Sn= U1

Bài tập vận dụng công thức cấp số nhân

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) với U1 = 3 và q = -2 Tính U20=? Hỏi 768 là số hạng thứ mấy?Hướng dẫn giải: U20= U1 x q^19= 3 x (-2)^19= -1572864 Un = U1 . q^(n-1)⇔ 768= 3.(-2)^(n-1)⇔ 256 = (-2)^(n-1)⇔ (-2)^8 = (-2)^(n-1)=> 8 = n -1=> n =9Vậy số hạng thứ 9 là số 768Ví dụ 2: Tế bào E coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp thì cứ 20 phút lại phân đôi một lần.Hướng dẫn giải:q=2 Sau lần phân bào đầu tiên ta có U1 = 2 tế bàoSau 10 lần phân chia thì được: U10 = U1 . q^9 = 2 . 2^9 = 1024 tế bào 2 giờ = 120 phút => 6 lầnSau 1 lần phân bào sẽ có:U1 = 2. 10^3 tế bàoSau 6 lần phân bào sẽ có:U6 = u1. q^5 = 2. 10^3 . 2^5= 2^6 . 10^3 tế bào

Các dạng bài tập liên quan đến cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Như tài chính, kinh tế, khoa học máy tính, xử lý tín hiệu cùng nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ như trong tài chính, cấp số nhân được dùng để tính lãi suất lũy tiến. Hay trong khoa học máy tính, nó được dùng tr...