1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là: là cấp số nhân với với Ví dụ: Dãy số , với là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân un có Công bội Ví dụ 1: Cho cấp số nhân . Tính công bội qTa có: Ví dụ 2: Cho cấp số nhân . Tính công bội qTa có:

3. Tính chất cấp số nhân

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy tìm u4Lời giải: Ta có: u22 = u1 . u3 = 3 u32 = u2 . u4Từ (1) do u2 > 0 ( vì u1=1 > 0 và q > 0)

4. Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:Ví dụ minh họaVí dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.Lời giải: Ta có 6 số hạng đầu tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un có số hạng thứ hai là 10 và số hạng thứ năm là 1250.Lời giải: Ta có: r(5-2) = r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ đó r = 5. u1=10=5=2. Số hạng thứ nhất là 2 Ví dụ 3: Bài cho cấp số nhân Un thỏa mãn: . Dãy số Un trên là cấp số nhân đúng hay sai? Lời giải: Ta có: không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội là

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.Ví dụ 1: Cho cấp số nhân Un có U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.Từ công thức ta có: Ví dụ 2: Cho cấp số nhân Un có U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.Lời giải: Từ công thức ta có: Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội q.Lời giải: Đặt q là công bội của cấp số nhân trênCác số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Phương pháp:Để tìm số hạng của cấp số nhân ta sử dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.Ví dụ 1: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: Lời giải: Ta biến đổi: Vậy cấp số nhân (un) có u1 = 12 và q = 2Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với u3 = 8 , u5 = 32. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là? Lời giải: Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có Với q = 2, ta có u10 = u3 . q7 = 8 . 27 = 1024Với q = -2, ta có u10 = u3 . q7= 8 . (-2)7 = -1024Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5Lời giải: Áp dụng công thức ta có : un = u1 . qn-1 u5 = u1 . q4 =3 . 24 = 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Ta sử dụng công thức:Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:S = 2 + 6 + 18 + 13122Lời giải:(un) có u1=2 và q = 3. Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) vớiLời giải: Ví dụ 3: Cho cấp số nhân Un thỏa mãn: Lời giải:

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:Xác định các thành phần cấu tạo nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q sau đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát .Ví dụ 1: CSN (un) như sau, tìm u1 khi:Mà Lời giải: Ta có q = 3 hoặc Khi đó lần lượt hoặc Ví dụ 2: Dãy số nào là cấp số nhân: Lời giải: Xét đáp án A ta có: u1 = 1, u2 = u1 . 0,2, u3 = u1 . (0,2)2, u4 = u1 . (0,...

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp số nhân (un) có công bội q thỏa mãn -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.Sn = u1(1 - qn)(1 - q) = u1(qn - 1)(q - 1) Trong đó sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un)Ví dụ: là một cấp số nhân lùi vô hạn

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài cho cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tổng Lời giải:Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với nên Ví dụ 2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng sốLời giải: Ta có: Vậy Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là tổng ba số hạng đầu tiên của dãy ...