Cấp số nhân là gì? Tính chất cấp số nhân

1. Định nghĩa cấp số nhân

Định nghĩa: Cấp số nhân là dãy số vô hạn hoặc hữu hạn thỏa mãn điều kiện: kể từ số hạng thứ 2 , mỗi số là tích của số hạng đứng ngay trước đó và 1 số cố định gọi là hằng số. Hằng số này được gọi là công bội của cấp số nhân ký hiệu là q. Công thức tính cấp số nhân: Un+1 = Un . q (n ∈ N*)Trong đó: Ví dụ: Cho dãy số 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729… đây là cấp số nhân phần tử đầu tiên là U1 = 1, công bội q = 3Xem thêm: Tuyển tập kiến thức công thức lượng giác lớp 10 đầy đủ nhất

2. Tính chất của cấp số nhân

Cấp số nhân có một số tính chất sau: Tính chất 1: Nếu Un là 1 cấp số nhân thì từ số hạng thứ 2, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của số đứng sau và đứng trước liền kề. Công thức: (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) trong đó U3 = 4, U5 = 16. Tìm U4 của cấp số nhân? Đáp án: Áp dụng công thức: (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1=> U42 = U3 . U5=> U42 = 4 . 16=> U4 = 8Vậy U4 của cấp số nhân là 8Xem thêm: Cập nhật kiến thức tổng hợp về số hữu tỉ mới nhất 2023Tính chất 2: Công bội đặc biệt

Cập nhật kiến thức các công thức cấp số nhân lớp 11

Cập nhật kiến thức các công thức cấp số nhân lớp 11 đầy đủ nhất giúp học sinh tổng hợp kiến thức. Từ đó dễ dàng học thuộc cũng như áp dụng kiến thức vào giải các bài tập có liên quan. Ngay dưới đây hãy cùng The Dewey Schools tìm hiểu thông tin chi tiết và ví dụ về 5 công thức cấp số nhân các em học sinh nhé. Xem thêm: [2023 Update] Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10, 11Xem thêm: Chi tiết các công thức Logarit lớp 12 chuẩn nhất 2023

1. Công thức truy hồi

Cho Un là cấp số nhân thì công thức truy hồi là: Un = Un-1 . q (n ∈ N*)Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un), trong đó U2 = 9, q = 3. Tìm công thức truy hồi U4 của cấp số nhân? Đáp án: Theo đề bài ta có U2 = 9, q = 3 => U3 = U2 . 3=> U3 = 9 . 3=> U3 = 27Công thức truy hồi cấp số nhân (Un) là: Un = Un-1 . q=> U4 = U3 . 3=> U4 = 27 . 3=> U4 = 81

2. Công thức tổng quát cấp số nhân

Nếu Un là cấp số nhân có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được tính bằng công thức dưới đây:Công thức tổng quát cấp số nhân (Un) = U1 . qn-1Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un), trong đó có U1 = 6, q = 3. Tính số hạng tổng quát U4?Đáp án: Áp dụng công thức: Un = U1 . qn-1Số hạng tổng quát U4 của cấp số nhân là: U4 = 6 . 34-1=> U4 = 162Số hạng tổng quát U4 của cấp số nhân (Un) là 162

3. Công thức tính công bội q của cấp số nhân

Công bội q của cấp số nhân (Un) được tính bằng công thức: q = (Un+1)/UnVí dụ 1: Cho cấp số nhân có U1 = 5, U2 = 20. Tính công bội q?Đáp án: Áp dụng công thức q = (Un+1)/Un=> q = U2/U1=> q = 20/5=> q = 4Công bội của cấp số nhân có U1 = 5, U2 = 20 là q = 4Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có U5 = 7, U6 = 49. Tính công bội q?Đáp án: Áp dụng công thức q = (Un+1)/Un=> q = U6/U5=> q = 49/7=> q = 7Công bội của cấp số nhân có U5 = 7, U6 = 49 là q = 7

4. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên

Cho cấp số nhân (Un) có công bội q ≠ 1, ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên là: Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + UnVí dụ: Cho cấp số nhân (Un) có U1 = 4, q = 3. Tính S5?Đáp án: Áp dụng công thức tính n số hạng đầu tiên ta có:S5 = U1( 1- q5)/ (1 - q)=> S5 = 4 (1 - 35)/ (1 - 3)=> S5 = 4 . (-242)/ (-2)=> S5 = 484Tổng của 5 số hạng đầu tiên S5 = 484

5. Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn Un có công bội q (1 < q < 1) là cấp số nhân lùi vô hạnCông thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S là: Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + … + Un + … => Sn = limSn => Sn = lim (U1 . (1 - qn)/ (1 - q)=> Sn = U1/ (1-q)Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Un có Un = 1/ 3nĐáp án: Theo đề bài ta có Un = 1/ 3n=> U1 = ⅓=> U2 = 1/9=> Công bội q = U2/ U1 = 1/3Áp dụng công thức: S = U1/ (1-q)=> S = 1/3 : (1-⅓) => S = ½Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có Un = 1/ 3n là S = 1/2

Các dạng bài tập luyện tập kiến thức cấp số nhân

Rèn luyện thường xuyên các dạng bài tập về công thức tổng quát cấp số nhân là cách hiệu quả để ghi nhớ và hiểu rõ về nội dung kiến thức này. Vậy công thức tính cấp số nhân có các dạng bài tập cơ bản nào? The Dewey Schools đã tổng hợp một số dạng bài tập điển hình để các em học sinh thuận tiện tìm tài liệu và luyện tập.

Dạng 1: Nhân biết công thức CSN

Phương pháp giải bài tập dạng 1: Nếu q thay đổi thì Un không phải là cấp số nhânNếu q không đổi thì Un là cấp số nhânVí dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) có số hạng thứ 2 là 6, công bội q = 3. Viết 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un)? Đáp án: Viết 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un) có công bội q = 3, U2 = 6:2, 6, 18, 54, 162, 486Ví dụ 2: Cho dãy số Un thỏa mãn điều kiện Un = 3n+1. Đây có phải là cấp số nhân không? Đáp án: Áp dụng công thức: q = (Un+1)/Un=> q = 3n+1+1 /3n+1=> q = 3Vậy Un là cấp số nhân với U1 = 9, q = 3

Dạng 2: Tính công bội của cấp số nhân

Phương pháp giải bài tập dạng 2: Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) có U2 = 3, U4 = 27. Tính công bội q của cấp số nhân?Đáp án: Áp dụng tính chất của cấp số nhân (Uk)2 = Uk-1 . Uk+1=> U32 = U2 . U4=> U32 = 27 . 3=> U3 = 9Áp dụng công thức tính công bội q = U3/U2=> q = 9/3=> q = 3Công bội của cấp số nhân (Un) là q = 3Ví dụ 2: Cho 3 số a, b , c lập thành cấp số nhân và 3 số a, 2b, 3c là cấp số cộng. Tìm công bội q?Đáp án: Theo đề bài ta có 3 số a, 2b, 3c lập thành cấp số cộng => a + 3c = 4b=> 3q2 - 4q + 1 = 0 (a ≠ 0)=> q = 1 hoặc q = 1/3Công bội của cấp số nhân q = 1 hoặc q = ⅓

Dạng 3: Tính tổng cấp số nhân của các số hạng trong dãy

Phương pháp giải bài tập dạng 4: Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) trong đó U3 = 2/9, U4 = 2/27Đáp án: => q = ⅓Liệt kê 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un) là: 2, 2/ 3, 2/9, 2/27, 2/81S10 = U1 (q2 - 1)/ (q - 1) => S10 = 2 ((⅓)2 - 1)/ (1/3 - 1) => S10 = 59048/19683Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Un) là S10 = 59048/19683Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (Un) trong đó: Tính S = U2 + U4 + U6 + U8 + … + U20Đáp án: Áp dụng công thức tính công bội q = Un+1 / Un => Dáy số U2, U4, U6, U8, …U20 lập thành cấp số nhân có số hạng đầu là U2 = 9, công bội q = 3=> S = U2 + U4 + U6 + U8 + … + U20=> S = U2 (1 - 310) / (1 - 3)=> S = 9/2 . (310 - 1)Vậy S = U2 + U4 + U6 + U8 + … + U20 = 9/2 . (310 - 1)

Dạng 4: Tìm số hạng bất kỳ của cấp số nhân

Phương pháp giải bài tập dạng 4: Bước 1: Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1 . qn-1Bước 2: Tính số hạng bất kỳ của cấp số nhânVí dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) có U3 = 8, U4 = 16. Tìm U10 của cấp số nhân?Đáp án: Tính công bội q của cấp số nhân: q = U4/U3=> q = 16/8=> q = 2Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát: Un = U1 . qn-1=> U10 = U3 . q10-3=> U10 = 8 . 27=> U10 = 1024Số hạng thứ 10 của cấp số nhân (Un) là 1024Ví dụ 2: Tính U1 và công bội q của cấp số nhân (Un) biết: U4 - U2 = 72 và U5 - U3 = 144Đáp án: Từ dữ liệu đề bài ta có: Ta biến đổi: Vậy cấp số nhân (Un) có U1 = 12, cấp số nhân q = 2

Dạng 5: Tìm cấp số nhân

Phương pháp giải bài tập dạng 5: Ví dụ 1: Dãy số sau có phải là cấp số nhân không: 1; 0,2; 0,04; 0,008; 0,00016…Đáp án: Theo đề bài ta có U1 = 1, U2 = 0,2 => Công bội q = 0,2/1 = 0,2Từ đó ta có U3 = 0,2 . 0,2 = 0,04U4 = 0,04 . 0,2 = 0,008U5 = 0,008 . 0,2 = 0,00016Vậy dãy số 1; 0,2; 0,04; 0,008; 0,00016… là cấp số nhân có U1 = 1, công bội q = 0,2Ví dụ 2: Tìm cấp số nhân (Un) có 7 số hạng biết tổng của 5 số hạng đầu là 31, công bội q = 2Đáp án: Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân (Un) ta có: S5 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5= U1 + U1.q + U2.q + U3.q + U4.q= U1 + U1.q + U1.q.q + U1. q.q.q + U1.q.q.q.q.= U1 + 2U1 + 4U1 + 8 U1 + 16U1= 31U1=> 31 = 31U1=> U1 = 1Vậy cấp spps nhân (U1) có 7 số hạng là: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Câu hỏi thường gặp

1. Ví dụ về sơ đồ tư duy cấp số nhân?

Lập sơ đồ tư duy giúp người học phân tích, xâu chuỗi các kiến thức của 1 chủ đề một cách logic và khoa học. Từ đó giúp việc ghi nhớ và áp dụng kiến thức dễ dàng hơn. Có nhiều cách vẽ sơ đồ tư duy công thức cấp số nhân. Dưới đây là 1 ví dụ mời các em học sinh cùng tham khảo.

2. Cách ghi nhớ các công thức cấp số nhân nhanh chóng?

Để ghi nhớ các công thức cấp số nhân nhanh chóng, hiệu quả học sinh cần chú ý: Trên đây là toàn bộ kiến thức và một số dạng bài tập cơ bản về công thức cấp số nhân. The Dewey Schools hy vọng với nội dung bài viết này các em học sinh có thể ghi nhớ và áp dụng vào giải bài tập công thức CSN một cách thành thạo. Mọi thắc mắc có liên quan vui lòng liên hệ với chúng tôi để được hỗ trợ trong thời gian sớm nhất nhé.