Cấp số nhân là phần kiến thức quan trọng trong chương trình THPT. Các công thức cấp số nhân thường khá phức tạp. Do đó để làm tốt dạng bài này các em cần nắm chắc lý thuyết và công thức.
Cấp số nhân là gì? Công thức cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thỏa mãn điều kiện kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số hằng số không đổi. Hằng số này còn được gọi là công bội q của cấp số nhân.
Công thức cấp số nhân
Un+1= Un x q
Trong đó:
Un là cấp số nhân với ∀n ≥2, Un-1 với n ∈ N*
Ví dụ: Dãy số (Un) với Un= 5^n là một cấp số nhân với số hạng đầu U1= 5 với công bội q = 5
Lưu ý:
q> 1 => Cấp số nhân là dãy số tăng
q= 1 => Cấp số nhân là dãy số không đổi
0 Cấp số nhân là dãy số giảm
q= 0=> Cấp số nhân có dạng U1,0,0..
q <0 > Cấp số nhân là dãy không tăng, không giảm.
Công bội q
q là công bội của cấp số nhân Un có:
Công bội q= (Un+1)/Un
Ví dụ: Cho cấp số nhân U1= 3, U2= 12. Tính công bội q
Ta có:
q= U2/U1= 12/3= 4
Ví dụ: Cho cấp số nhân U3= 12, U4= 24. Tính công bội q
Ta có :
q= U4/U3= 24/12= 2
>> Tham khảo: Chu vi hình tam giác
Tính chất của cấp số nhân
Un là một số nhân thì số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng trước sau nó.
(Uk)2= Uk-1 x Uk+1
Nếu một cấp số nhân Un có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quats Un sẽ được tính theo công thức:
Un= U1 x q^n-1
Ví dụ: Cho cấp số nhân Un với công bội q> 0
Biế U1=1, U3= 9. Tìm U4
Giải:
Ta có : U2^2= U1 x U3= 9=> U2= 3 (Do U1>0 và q>0)
U3^2= U2 x U4
=> U4= U3^2/ U2= 81/3= 27
Khi q= 0 thì dãy có dạng U1, 0, 0,..0 và Sn= U1
Khi q= 1 thì dãy số có dạng: U1, U1, U1 và Sn= nUn
Khi U1= 0 thì mọi q, cấp số nhân có dạng 0,0,0,0… và Sn= U1
Bài tập vận dụng công thức cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (Un) với U1 = 3 và q = -2
Tính U20=?
Hỏi 768 là số hạng thứ mấy?
Hướng dẫn giải:
U20= U1 x q^19
= 3 x (-2)^19= -1572864
Un = U1 . q^(n-1)
⇔ 768= 3.(-2)^(n-1)
⇔ 256 = (-2)^(n-1)
⇔ (-2)^8 = (-2)^(n-1)
=> 8 = n -1
=> n =9
Vậy số hạng thứ 9 là số 768
Ví dụ 2: Tế bào E coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp thì cứ 20 phút lại phân đôi một lần.
- Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ tạo thành bao nhiêu tế bào?
- Nếu có 10^3 tế bào E Coli sau 2 giờ sẽ được chia thành bao nhiêu tế bào?
Hướng dẫn giải:
q=2
Sau lần phân bào đầu tiên ta có U1 = 2 tế bào
Sau 10 lần phân chia thì được:
U10 = U1 . q^9 = 2 . 2^9 = 1024 tế bào
2 giờ = 120 phút => 6 lần
Sau 1 lần phân bào sẽ có:
U1 = 2. 10^3 tế bào
Sau 6 lần phân bào sẽ có:
U6 = u1. q^5 = 2. 10^3 . 2^5
= 2^6 . 10^3 tế bào
Các dạng bài tập liên quan đến cấp số nhân
Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Như tài chính, kinh tế, khoa học máy tính, xử lý tín hiệu cùng nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ như trong tài chính, cấp số nhân được dùng để tính lãi suất lũy tiến. Hay trong khoa học máy tính, nó được dùng trong các thuật toán tối ưu và mã hóa thông tin.
Theo đó, có các dang bài như sau:
Dạng 1: Nhận biết CSN
Bước 1: Tính q=un+1un,∀n≥1
Bước 2: Kết luận:
+ Nếu q là số không đổi thì dãy (un) chính là CSN.
+ Nếu q thay đổi theo n thì dãy (un) không phải là CSN.
Dạng 2: Tìm ra công bội q của 1 cấp số nhân
Sử dụng các tính chất của CSN, để biến đổi để tính công bội của CSN.
Dạng 3: Tìm số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn-1,n≥2
Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy số
Để tính tổng của CSN với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta áp dụng công thức:
Sn=u1+u2+…+un=u1(1-q^n)/ (1-q)
Dạng 5: Tìm CSN
+ Tìm các yếu tố xác định của một CSN như: số hạng đầu u1, công bội q.
+ Tìm ra công thức cho số hạng tổng quát un=u1.qn-1,n≥2.
Trên đây là những thông tin chi tiết liên quan đến công thức cấp số nhân. Hy vọng bài viết mang đến cho bạn cái nhìn tổng quan và có cái nhìn tổng quan về dạng kiến thức này.
>> Tham khảo: Mẫu tủ bếp tân cổ điển đẹp
