25/05/2024 06:50

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

- Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác cảu một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

- Chứng minh định lý:

Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt AC tại điểm E như hình vẽ.

Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của $\large \widehat{BAD}$

=> $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Ta có BE // AD => $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ ( hai góc so le trong) và $\large \widehat{A_{2}}=\widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $\large \widehat{B_{1}}=\widehat{E}$ => $\large \Delta AEB$ cân tại A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng định lý thales vào $\large \Delta CEB$ , ta có:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}(dpcm)$

- Chú ý: Trong $\large \Delta$ ABC, nếu D là điểm thuộc đoạn BC và thỏa mãn $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ thì AD là đường phân giác của góc A.

2. Các dạng bài về tính chất đường phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài tính độ dài cạnh, diện tích, chu vi

Cách làm: Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, các tỉ lệ thức, định lý thales, định lý pytago để biến đổi và tính toán.

Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của $\large \widehat{A}$ . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: Áp dụng tính chất của đường phân giác trong $\large \Delta ABC$ và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\large \frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

$\large \Rightarrow \frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}(cm);EC=\frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích

- Phươn pháp giải: Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng. Áp dụng kĩ thuật đại số hóa hình học, công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện tích tam giác.

- Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ và các đường phân giác BD và CE. Biết $\large \frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}; \frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$

Hãy tính các cạnh của $\large \Delta ABC$ , biết $\large \Delta ABC$ có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE vào $\large \Delta ABC$ ta có:

$\large \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=4t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.(t > 0)$

$\large \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AC=5t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.$

Lại có chu vi của $\large \Delta ABC$ là 45 cm, ta có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 8 chi tiết SGK mới

3. Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chương trình mới

3.1 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Trong Hình 4.24 có $\large \widehat{NPH}=\widehat{MPH}$ nên PH là tia phân giác của $\large \widehat{NPM}$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\large \frac{MP}{NP}=\frac{MH}{NH}\Leftrightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Theo đề bài, đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D nên AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$\large \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{4,5}{7}=\frac{DB}{DC} \Leftrightarrow \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\large \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}\Leftrightarrow \frac{DB+DC}{4,5+7}=\frac{BC}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23}$

$\large \Rightarrow DC=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23}\approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Theo đề bài, ABCD là hình vuông nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ .

Vì M là trung điểm của AB

$\large \Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ hay AI là tia phân giác của $\large \widehat{MAD}$ , áp dụng tính chất đường phân giác trong $\large \Delta$ ADM, ta có:

$\large \frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow ID=2IM$

Ta có I là điểm gặp nhau nên Mai đi theo quãng đường MI còn Dung đi theo quãng đường DI.

Ta có S = v.t. Mà quãng đường Dung đi gấp 2 lần quãng đường Mai đi, vận tốc của 2 bạn như nhau nên thời gian Dung đi đường sẽ gấp 2 lần thời gian Mai đi đường thì mới gặp nhau tại điểm I.

Dung gặp Mai lúc 7h30p nên thời gian Mai đi trên quãng đường MI là: 7h30 - 7h = 30p

Khi đó thời gian Dung đi là 1h => Thời gian Dung xuất phát từ nhà: 7h30 - 1h = 6h30p.

Vậy dung xuất phát từ lúc 6h30p để gặp Mai lúc 7h30p tại điểm I.

Lộ trình khóa học DUO sẽ được thiết kế riêng cho từng nhóm học sinh, phù hợp với khả năng của các em cũng như giúp các em từng bước đạt điểm 9, 10 trong mọi bài kiểm tra.

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

3.2 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, ta có AD là đường phân giác góc A nên ta có

$\large \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong $\large \Delta$ EFG, ta có EH là đường phân giác góc E nên ta có

$\large \frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}\Leftrightarrow \frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$\large \Rightarrow 12x=18(20-x)\Rightarrow x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t $\large \Delta$ PQR, ta có RS là đường phân giác góc R nên ta có

$\large \frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow \frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

$\large \Rightarrow x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) $\large \Delta$ ABC có AD là đường phân giác

$\large \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\large \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{40}{7}cm;BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\large \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}= \frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, ta có: AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = 20 cm.

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{35}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

$\large \Rightarrow DC=BC-DB=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC có DE // AB, theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$

$\large \Rightarrow DE=\frac{60}{7}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm.

Nên BC2 = AB2 + AC2 => $\large \Delta$ ABC vuông tại A.

Khi đó, ta có:

$\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích $\large \Delta$ ABC là 150 cm2.

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\large \frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

$\large \Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7}cm$

$\large \frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25} \right )^{2}=\frac{144}{1225}$

$\large \Rightarrow S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49}cm^{2}$

$\large \Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$\large =150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $\large S_{ADB}=\frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=\frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) $\large \Delta$ ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AC2 + AB2 => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\large \Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}cm$

Do đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 cm.

b. Ta có: $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông tại H nên:

$\large HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB - HB = 15/7 - 9/5 = 12/35 cm.

$\large AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $\large AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

• Xét $\large \Delta$ ABM có MD là đường phân giác $\large \widehat{AMB}$

$\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét $\large \Delta$ ACM có ME là đường phân giác $\large \widehat{AMC}$

$\large \Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, do đó: $\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ , theo định lí Thalès đảo ta có: DE // BC.

3.3 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng tính chất đường phân giác cho $\large \Delta$ ABC, ta có:

AD là đường phân giác của góc BAC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 - BD)

<=> 6BD = 20 - 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là đường phân giác của góc ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow \frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 - CE)

<=> 4CE = 30 - 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là đường phân giác của góc ACB

$\large \Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{FA}{AB-FA}=\frac{CA}{CB}\Leftrightarrow \frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 - AF) <=> 5AF = 24 - 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

BE là đường phân giác của góc ABC trong $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

BD là đường phân giác của góc ABM trong $\large \Delta$ ABM

$\large \Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là đường trung tuyến của $\large \Delta$ ABC)

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=2\frac{BM}{BA}=2\frac{DM}{DA}$

Vậy $\large \frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là đường phân giác của góc BAC trong $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

AE là đường phân giác của góc BAG trong $\large \Delta$ ABG

$\large \Rightarrow \frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Vậy $\large \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đường phân giác của góc BAC.

Xét $\large \Delta$ AMD có AN là đường phân giác góc MAD

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{AM}$

Hay $\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AB}{\frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = 52

Suy ra BC = 5.

Do AD là đường phân giác của $\large \widehat{BAC}$ , theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

Do đó 4DB = 3(5 - DB) <=>4DB = 15 - 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$\large \frac{DH}{BA}=\frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{DH}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$\large \Rightarrow DH=\frac{3\frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$\large \frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

$\large \Rightarrow \frac{AH}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5}\Rightarrow AH=\frac{4.\frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD2 = AH2 + DH2 (định lí Pythagore)

$\large \Rightarrow AD^{2}=\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}=\frac{288}{49}$

$\large \Rightarrow AD=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144.2}{49}}=\sqrt{\left ( \frac{12\sqrt{2}}{7} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo tính chất đường phân giác trong hai tam giác ACD và BCD, ta có:

AE là đường phân giác của góc CAD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{AC}{AD}(1)$

BE là đường phân giác của góc CBD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đây là những kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác lớp 8 trong chương trình toán 8 kết nối tri thức, chân trời sáng tạo và cánh diều. Bên cạnh đó VUIHOC hướng dẫn các em cách giải các bài tập trong sách giáo khoa. Truy cập vuihoc.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán 8 bổ ích nhé các em!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès trong tam giác

Đường trung bình của tam giác

Link nội dung: https://iir.edu.vn/tinh-chat-duong-phan-giac-cua-tam-giac-toan-8-chuong-trinh-moi-a13427.html

Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

1. Tính chất đường phân giác của tam giác

2. Các dạng bài về tính chất đường phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài tính độ dài cạnh, diện tích, chu vi

2.2 Dạng bài tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích

3. Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chương trình mới

3.1 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 kết nối tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 kết nối tri thức

3.2 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

a) ABC có AD là đường phân giác

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân trời sáng tạo

3.3 Bài tập tính chất đường phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) $\large \Delta$ ABC có AD là đường phân giác