Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn điều kiện kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n \in N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$ , với $u_{n}=3^{n}$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội q = 3.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân un có

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính chất cấp số nhân

$(u_{n})$ là một cấp số nhân thì từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

Nếu một cấp số nhân un có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un sẽ được tính bởi công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0.

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy tìm u4

Lời giải:

Ta có: u22 = u1 . u3 = 3

u32 = u2 . u4

Từ (1) do u2 > 0 ( vì u1=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

Khi q = 0 thì dãy có dạng u1; 0;0…;0;… và Sn=u1
Khi q = 1 thì dãy có dạng u1;u1;u1;...;u1;... và Sn=nu1.
Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0;…; 0;… và Sn=u1.

Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập

4. Tổng hợp các công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall n \geq 1$
Kết luận:

Nếu q là không đổi thì dãy un là cấp số nhân
Nếu q thay đổi thì dãy un không là cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

Ta có 6 số hạng đầu tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân Un có số hạng thứ hai là 10 và số hạng thứ năm là 1250.

Tìm số hạng thứ nhất
Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cấp số nhân.

Ta có: r(5-2) = r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ đó r = 5.

$\Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng thứ nhất là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài cho cấp số nhân Un thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$ . Dãy số Un trên là cấp số nhân đúng hay sai?

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của CSN, biến đổi để tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân Un có U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ công thức ta có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân Un có U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ công thức ta có:

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng $\Rightarrow x+3z=4y$

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Phương pháp:

Để tìm số hạng của cấp số nhân ta sử dụng công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 72\\ u_{5} - u_{3} = 144 \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Ta biến đổi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 72\\ u_{1}q^{4} - u_{1}q^{2} = 144 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 72\\ u_{1}q^{2}(q^{2} - 1) = 144 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow q = \frac{144}{72} = 2 \Rightarrow u_{1} = 12$

Vậy cấp số nhân (un) có u1 = 12 và q = 2

Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với u3 = 8 , u5 = 32. Số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, ta có u10 = u3 . q7 = 8 . 27 = 1024

Với q = -2, ta có u10 = u3 . q7= 8 . (-2)7 = -1024

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (un), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

Lời giải:

Áp dụng công thức ta có : un = u1 . qn-1

$\Leftrightarrow$ u5 = u1 . q4 =3 . 24 = 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Ta sử dụng công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:

S = 2 + 6 + 18 + 13122

Lời giải:

(un) có u1=2 và q = 3.

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài cho cấp số nhân (un) với

$(un): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp số nhân trên là gì?
10 số hạng đầu của cấp số nhân (un) trên có tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân Un thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

Dãy số là cấp số nhân là đúng hay sai?
Tính S = u2 + u4 + u6... + u20

Lời giải:

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số (Un) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$
Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u2 = 9, q = 3

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác định các thành phần cấu tạo nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q sau đó suy ra được công thức cho số hạng tổng quát .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, tìm u1 khi:

$u_{n} = \frac{2}{3^{n - 1}}$

Mà $u_{n} = \frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n - 1} = 6561 \Rightarrow n = 9$

Lời giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11}\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4}) = 11 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(1 + q + q^{2}) = \frac{32}{11}\\ u_{1}(1 + q^{4}) = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{1 + q^{4}}{q(1 + q + q^{2})} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow$ Ta có q = 3 hoặc $q = \frac{1}{3}$

Khi đó lần lượt $u_{1} = \frac{81}{11}$ hoặc $u_{1} = \frac{1}{11}$

Ví dụ 2: Dãy số nào là cấp số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...
1,22,222,2222,...
X,2x,3x,4x,...
2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét đáp án A ta có:

u1 = 1, u2 = u1 . 0,2, u3 = u1 . (0,2)2, u4 = u1 . (0,2)3

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được un = (0,2)n

Khi đó $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ không đổi

Vậy dãy số là cấp số nhân có công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp số nhân (un) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên un.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s5' = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

= q . (u1 + u2 + u3 + u4 + u5)

= q . S5

Mà S5 = 31; S5' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u_{1}=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!!!

Cấp Số Nhân Là Gì? Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Nhân Và Bài Tập

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp số nhân (un) có công bội q thỏa mãn -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

Sn = u1(1 - qn)(1 - q) = u1(qn - 1)(q - 1)

Trong đó sn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (un)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài cho cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng ba số hạng đầu tiên của dãy số là $\frac{39}{25}$ . Xác định (u1), q của cấp số đó?

Lời giải:

6. Một số bài tập cấp số nhân và phương pháp giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp số nhân un có công bội q

a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q

b) Biết $q= \frac{2}{3}$ , $u_{4} = \frac{8}{21}$ . Tính u1

c) Biết u1 = 3, q = -2. Xác định số 192 là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân?

Lời giải:

Áp dụng công thức un = u1.qn-1

a) Theo công thức trên ta có: u6 = u1.q5 $\Rightarrow$ $q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{486}{2} = 243 \Rightarrow q = 3$

b) Theo công thức ta có: u4 = u1.q3 $\Rightarrow u_{1} = \frac{u_{4}}{q^{3}} = \frac{8}{21} . (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{7}$

c) Theo công thức ta có: $12 = 3.(-2)^{n - 1} \Rightarrow (-2)^{n - 1} = 64 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng thứ 7

Câu 2: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số nhân gồm có 5 số hạng và:

a) TH1: u3 = 3 , u5 = 27

b) TH2: u4 - u2 = 25 , u3 - u1 = 50

Lời giải:

a) Theo công thức un = u1.qn - 1 ta có lần lượt các số hạng u3 và u5 được tính như sau:

u3 = u1.q2 $\Rightarrow$ 3 = u1.q2 (1)

u5 = u1.q4 $\Rightarrow$ 27 = u1.q4 (2)

Từ (1) và (2) ta có thể suy ra được

$q^{2} = \frac{u_{1}.q^{4}}{u_{1}.q^{2}} = 9 \Rightarrow q = \pm 3$

Xét trường hợp:

Với q = 3 ta có $u_{1} = \frac{1}{3}$ ta có cấp số nhân lần lượt là: $\frac{1}{3}; 1; 3; 9; 27$

Với q = -3 ta có $u_{1} = -\frac{1}{3}$ ta có cấp số nhân lần lượt là: $\frac{1}{3}; -1; 3; -9; 27$

b) Theo đề bài ra ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{4} - u_{2} = 25\\ u_{3} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3} - u_{1}q = 25\\ u_{1}q^{2} - u_{1} = 50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2} - 1) = 25 (1)\\ u_{1}(q^{2} - 1) = 50 (2) \end{matrix}\right.$

Thay (2) vào phương trình (1) ta có 50.q = 25 $\Leftrightarrow q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow u_{1} = -\frac{200}{3}$

Vậy ta có cấp số nhân như sau:

$-\frac{200}{3}; -\frac{100}{3}; -\frac{50}{3}; -\frac{25}{3}; -\frac{25}{6}$

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Tổng của 5 số hạng đầu bằng 31, từ đó ta suy ra:

u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31

$\Rightarrow$ u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

$\Rightarrow$ u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q (1)

mà tổng của 5 số hạng sau bằng 62 từ đố suy ra

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q = 62

vậy q = 2

Vì S5 = 31 = $\frac{u_{1}(1 - 2^{5})}{1 - 2} \Rightarrow u_{1} = 1$

Vậy ta có cấp số nhân theo đề bài là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng tại thời điểm khảo sát số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân số của tỉnh đó là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh đó hiện tại là N

Sau một năm dân số tăng là 1,4%N

Vậy năm sau, số dân của tỉnh đó là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm sẽ là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài cho un có các số hạng 0, tìm u1 biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$ . Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải:

Tham khảo ngay một số dạng bài tập thương gặp về cấp số nhân được các thầy cô VUIHOC tổng hợp

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học và ôn tập kiến thức Toán 11 phục vụ ôn thi THPT QG ngay từ hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Tổng hợp các công thức cấp số cộng và cấp số nhân & bài tập
Cấp số cộng là gì? Công thức cấp số cộng và bài tập
Xác suất của biến cố
Giới hạn của dãy số