Khối chóp đều
Là khối chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc giữa đáy và các cạnh bên bằng nhau)
Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy;
Các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau;
Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau;
Chiều cao $h$ khối chóp xác định bởi $h=\sqrt{{{b}^{2}}-R_{d}^{2}},$ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và $b$ là độ dài cạnh bên.
Khối chóp n giác đều, độ dài cạnh đáy là a, độ dài cạnh bên là b có $V=\dfrac{1}{24}{{a}^{2}}\cot \dfrac{\pi }{n}\sqrt{4{{b}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{n}}}.$
Một số trường hợp đặc biệt của khối chóp đều
- Khối tứ diện đều cạnh $a$ có $V=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$ và $V=\dfrac{\sqrt{3}{{h}^{3}}}{8},$ trong đó $h=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ là chiều cao khối tứ diện đều.
- Khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}{12}.$
- Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2(2{{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{6}.$
- Khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a,$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
- Khối bát diện đều cạnh $a$ là hợp của hai khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ có $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
- Khối chóp lục giác đều cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $b$ có $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3({{b}^{2}}-{{a}^{2}})}}{2}.$
>>Xem thêm: Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt
>>Xem thêm: Thể tích của khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và thể tích của khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy
>>Xem thêm: Giải đáp học sinh - Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thoi, SA=x, SB=SC=SD=AB=1, x=? để hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất.
Khối chóp có độ dài ba cạnh bên bằng nhau
Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=S{{A}_{3}}=k$ thì chân đường cao của khối chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}.$ Vì vậy chiều cao khối chóp $h=\sqrt{{{k}^{2}}-R_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}}^{2}}.$
Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}=...=S{{A}_{m}}(3\le m\le n)$ khi đó đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}$ nội tiếp và hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy trùng với tâm ngoại tiếp của đa giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{m}}.$
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a,\text{ }BC=3a,\text{ }CA=\dfrac{5a}{2}.$ Biết ${A}'A={A}'B={A}'C$ và cạnh bên $A{A}'$ tạo với mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
C. $\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$
D. $\dfrac{5\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$
Giải. Vì ${A}'A={A}'B={A}'C$ nên hình chiếu vuông góc của \[{A}'\] xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ của tam giác $ABC.$
Ta có ${A}'O\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AO}={{60}^{0}}\Rightarrow {A}'O=OA\tan {{60}^{0}}={{R}_{ABC}}\sqrt{3}=\dfrac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'O=\dfrac{AB.BC.CA}{4}\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=1,$ tất cả các cạnh còn lại bằng $\sqrt{3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Giải. Tứ giác $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $\sqrt{3}$ nên là một hình thoi có độ dài cạnh bằng $\sqrt{3}.$
Vì $SB=SC=SD=\sqrt{3}$ nên hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của tam giác $BCD.$ Vì tam giác $BCD$ cân tại $C$ nên $H\in AC$ là trung trực của cạnh $BD.$
Gọi $O=AC\cap BD$ chú ý $\Delta SBD=\Delta ABD(c-c-c)\Rightarrow SO=AO\Rightarrow SO=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S.$
Do đó $AC=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}}=2\Rightarrow SH=\dfrac{SA.SC}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}.1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $B{{D}^{2}}=4O{{B}^{2}}=4\left( B{{C}^{2}}-O{{C}^{2}} \right)=4B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}=12-4=8\Rightarrow BD=2\sqrt{2}.$
Do đó ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{1}{2}.2.2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$ Chọn đáp án D.